Fysische modellen

De Navier-Stokes vergelijkingen

Vereenvoudigingsstappen uitgaande van de Navier-Stokes vergelijkingen

Stromingsleer programma's voor water en lucht in industriele toepassingen (de belangrijkste representanten van Newtonische media) gaan nagenoeg altijd direct uit van de Navier-Stokes vergelijkingen aangevuld met een continuïteitsvergelijking en, eventueel, met energie- en scalaire transportvergelijkingen. Het geheel vormt een stelsel van niet-lineaire gekoppelde differentiaal vergelijkingen die op een of andere wijze opgelost moeten worden. Waterstromingen zijn lastig als er "vrije oppervlaktes" voorkomen (een voorbeeld zijn de golven bij schepen) terwijl lucht compressibel kan zijn. Voor het overige geldt dat dezelfde vergelijkingen gebruikt worden, zij het met andere stofeigenschappen (vooral dichtheid en viscositeit).

In het geval van laminaire stromingen zijn de verkregen oplossingen redelijk tot zeer nauwkeurig. Zodra er echter sprake is van turbulentie zijn ook de meest krachtige computers vandaag de dag niet in staat om zonder een turbulentie model een stroming te simuleren. Slechts in enkele, geometrisch zeer simpele, gevallen is dat wel mogelijk; in dat geval spreekt men van Direct Numerical Simulation (DNS). De resultaten van dergelijke simulaties worden gebruikt ter vervolmaking van turbulentie modellen.

Een indeling van turbulentie modellen

De noodzaak om een turbulentie model te moeten gebruiken zorgt ervoor dat numerieke simulaties soms minder nauwkeurig kunnen zijn. Welk type turbulentie model gebruikt wordt hangt mede af van het probleem. Los van enkele situaties waarbij men uit metingen de voor de turbulentie belangrijke grootheid de "karakteristieke turbulente lengteschaal" kent, is men aangewezen op modellen waarbij minimaal de turbulente kinetische energie k en dissipatie e afgeschat worden. Mogelijke keuzes zijn: het isotrope standaard k-e model, al of niet op basis van de "ReNormalization Group" (RNG) theorie, de veelbelovende anisotrope niet-lineaire varianten die nu beginnen op te komen, of op basis van 6 transport vergelijkingen voor de Reynolds-spanningen (de zogenaamde "full Reynolds Stress Models" (RSM)). Daarnaast maakt men nog een onderscheid tussen hoge en lage Reynolds-getal modellen (voor "normale" turbulentie respectievelijk turbulentie bij zeer lage snelheden langs een wand). Verwacht wordt dat binnen enkele jaren een kruising tussen DNS en de turbulentie modellen in de vorm van "Large Eddy Simulation" (LES) in de industriële praktijk geïntroduceerd zullen worden (deze modellen zijn vooral van belang voor mogelijke aëroakoestische analyses). Het is opvallend dat het "standaard" k-e model en het "betere" RSM-model beiden in het begin van de zeventiger jaren ontwikkeld zijn, echter aangezien RSM-modellen zelden betere resultaten geleverd hebben worden vandaag de dag de k-e modellen nog steeds het meest gebruikt. In Delft wordt bij Frans Nieuwstadt en in Groningen bij Veldman aan de nieuwste DNS en LES modellen gewerkt. RSM is het favoriete thema van Hanjalic. Het gedrag van coherente wervelstrukturen in (twee-dimensionale) turbulentie is het aandachtsgebied van Gert-Jan van Heijst in Eindhoven.

Een turbulentie model is niet compleet zonder een wandmodel. Direct naast de wand in een zeer dunne laag, de grenslaag, zijn de aannames die voor het turbulentie model in het buitengebied gelden niet meer geldig. Daarnaast neemt de snelheid zeer snel af tot nul aan de wand. Indien men deze profielen zou willen berekenen zouden zeer fijne rekenroosters en dus grote rekenmodellen nodig zijn. Daarom wordt een universele wandwet ("law-of-the-wall") gebruikt die een standaard grenslaag langs een vlakke plaat beschrijft (en nauw eraan verbonden de thermische grenslaag). Het gebruik van de wandwet heeft z'n voor- en nadelen. Een voordeel is dat men de laag langs de wand niet meer in detail hoeft op te lossen. Het nadeel is dat de wandwet ook gebruikt wordt ook al is hij strikt niet meer geldig. Vooral bij thermische analyses moet men ervoor waken dat lokaal de uitkomsten onder- of overschat worden. Voor de kwaliteit van de simulatie van de stroming door bijvoorbeeld een apparaat vormt het gebruik van de wandwet vaak geen enkel probleem zolang de stroming of uitkomst niet bepaald wordt door lokale wandschuifspanningen en/of loslatingen die niet gebonden zijn aan scherpe randen.

Een serie links op het internet met betrekking tot turbulentie kan hier gevonden worden.

Numerieke methoden

Aangezien de vergelijkingen en modellen bekend zijn kunnen ze opgelost worden. Daarvoor staan meerdere methoden ter beschikking:

• Eindige (Finite) Differentie Methode (FDM) op basis van bijvoorbeeld Taylor-reeks expansies. FDM wordt vooral toegepast in academische programma's en wordt hier niet verder behandeld.
• Eindige Elementen Methode (FEM) is vooral bekend uit de sterkteleer, waar in wezen dezelfde technieken toegepast worden zij het met andere differentiaal vergelijkingen.
• Eindige Volumen Methode (FVM) lijkt op het eerste gezicht op FEM maar is zeker niet hetzelfde. De behoudswetten (voor impuls, massa, energie enzovoorts) worden met behulp van het theorema van Gauss geïntegreerd over volume elementen (normaliter cellen genoemd). Dit houdt onder andere in dat in alle omstandigheden (ook bij een grof model) per definitie aan alle behoudswetten voldaan wordt.
• overigen zoals de spectrale methode en cellulaire automata.

Tot aan de negentiger jaren waren FEM en FVM vooral bekend door het type rekenrooster dat gebruikt werd. De elementen bij FEM lieten toe dat elke willekeurige geometrie vermaasd kon worden terwijl dat bij de (multi-block) gestructureerde rekenroosters van de oudere FVM programma's vaak onmogelijk was. Echter vandaag de dag zijn er FVM pakketten die dezelfde cel (of element) vormvrijheid hebben als FEM. Sterker nog, sommige hebben aanmerkelijk meer mogelijkheden. Aangezien de FVM meer fysische modellen kent (die ook makkelijk zelf te wijzigen en in te brengen zijn) dan FEM is de rol van FEM voor de numerieke stromingsleer de laatste jaren afgenomen. De belangrijkste stromingsleer pakketten zijn dan ook gebaseerd op de FVM met ongestructureerde rekenroosters.

Het voert te ver om de verschillende mogelijke implementaties van de FVM te behandelen. Ter illustratie volstaat het hier te melden dat er onderscheid gemaakt wordt in:

• Het type rekenrooster dat gebruikt wordt; Cartesisch, (multi) block structured (nu ouderwets) of unstructured, niet-orthogonaal enzovoorts.
• De cel-vormen die toegestaan zijn (hexaeders, tetraeders, prisma's)
• Waar de stromingsvariabelen berekend worden: "staggered" versus "co-located" en hoe de snelheidscomponenten gericht zijn.
• De tijdsintegratie voor tijdafhankelijke problemen: expliciet, impliciet of een soort tussenvorm.
• Hoe de koppeling tussen druk en snelheid tot stand komt: bekende algoritmes zijn "Simple", "Simplec" en "Piso".

Daarnaast is het van belang hoe de (niet-lineaire) convectieve termen in de transportvergelijkingen bepaald worden (dat wil zeggen de snelheid waarmee bijvoorbeeld de temperatuur door de cel-wand een cel instroomt). Het ideale "differentieschema" bestaat (nog) niet en binnen de academische wereld is dit nog steeds een interessant studie object. In Nederland houdt onder andere Piet Wesseling zich met dit thema bezig (informatie over de software waaraan daar gewerkt wordt (ISNaS en Sepran) is hier te vinden).

De te bereiken nauwkeurigheid van een simulatie is dus afhankelijk van vele factoren:

• De kwaliteit van de fysische modellen (met name het turbulentie en wandmodel).
• De gekozen numerieke technieken.
• En het rekenrooster (zowel de geometrische beschrijving van het rekendomein als ook de resolutie van de stroming). Een duidelijk voorbeeld is hier te vinden.

Toepassingen

Tot nu toe is er slechts in algemene termen gesproken over de Navier-Stokes vergelijkingen en de oplossingsmethoden. Net zo belangrijk zijn de uitgebreide toepassingsmogelijkheden (het toepassen ten behoeve van industriele stromingsleervraagstukken is het specialisme van Cyclone Fluid Dynamics):

• Twee- of drie-dimensionale stromingen (stroming door en drukverlies van een apparaat, inclusief thermisch gedrag van de lucht en onderdelen).
• Tijdafhankelijk of -onafhankelijk (ook wel bekend als "instationair" vs. "stationair" of "transient" vs. "steady state").
• Met lokaal draaiende (onder)delen zoals ventilatoren en bewegende delen (zuigers en ventielen).
• Incompressibel of compressibel met dichtheid als functie van druk en temperatuur of alleen temperatuur ("buoyancy driven flows of in het Nederlands "thermische convectie").
• Warmteoverdracht (geleiding, convectie en straling), inclusief temperaturen in vaste materialen zoals aluminium (hetgeen in wezen een simpel geval is van de basis transportvergelijkingen).
• Verspreiding van gassen zoals ozon (gassen kunnen "passief" zijn of "actief", dat laatste wil zeggen dat stofconstanten afhankelijk zijn van de lokale concentraties, te vergelijken met dichtheid als functie van de temperatuur).
• Massaoverdacht zoals het aanbrengen van coatings (en het drogen), verdampen van druppeltjes (sproeidrogen).
• Chemische reacties (zoals bij verbranding een van de thema's in Eindhoven bij Anton van Steenhoven en Rik Baert).
• Meerfasen stromingen, inclusief de impulsuitwisseling van (vele) deeltjes (bijvoorbeeld vervuilingsvraagstukken van inkt, zand etcetera) en met vrije oppervlaktes met behulp van de Volume-of-Fluid (VOF) methode. Geladen deeltjes kunnen ook externe krachten ondervinden in een elektromagnetisch veld.
• En in de (nabije) toekomst ook aëroakoestische analyses (waaraan ondere Rini van Dongen in Eindhoven werkt).

Dat de toepassing van de numerieke stromingsleer niet beperkt is tot de stroming in apparaten is evident. De bekendste toepassingen zijn onderzoek en ontwikkeling op het gebied van:

• Luchtvaartaërodynamica (in Delft bijvoorbeeld bij Bakker).
• Scheepvaart.
• In de automobielindustrie:
  • Voertuigaërodynamica; externe stromingen, invloed van spiegels en ruitenwissers enzovoorts (in de toekomst ook het geluid ervan).
  • Cabineklimaat in verband met thermisch comfort van passagiers (auto's, vrachtwagens en bussen)
  • Motorenontwikkeling; intern (verbranding met bewegende kleppen en zuigers, stroming in de cylinder) en extern (waterkoeling), in- en uitlaten (inclusief katalysatoren).
  • "Under-the-hood"; stromingen door het motorcompartiment (ook koeling).
• Algemeen werktuigbouwkunde:
  • Pompen en ventilatoren.
  • Warmtewisselaars (ook van gastoestellen).
  • Koeling van elektronica.
• In de proces- en chemische industrie:
  • Stromingen door leidingen, apparaten en ventielen (drukverliezen, reinigen).
  • Reinigen van ventielen.
  • Mengen en roeren.
  • Verblijftijdspreiding en afscheiden van deeltjes (o.a. cyclonen en UV disinfectie).
  • Sproeidrogen.
  • Ovens.
• Gebouwen:
  • Winddrukken op gevels (sterkte en ook als randvoorwaarde voor natuurlijke ventilatie).
  • Gevolgen van brand (temperatuur en rookverspreiding).
  • Binnenklimaat (thermische convectie, tocht (cleanrooms) en verspreiding van uitlaatgassen in parkeergarages).
  • Windhinder.

De voorbeelden zijn ook op de pagina met beschrijvingen van projecten te vinden.

Rekenroosters en CAD

Voordat er gerekend kan worden dient een rekenrooster gemaakt worden (ook de term "vermazing" of de Engelse termen "mesh" of "grid" worden gebruikt). Uitgangspunt vormt in de regel een geometrie dat met behulp van een CAD-systeem wordt aangemaakt. Slechts in een enkel eenvoudig geval kan een parametrisch model gerealiseerd worden (bijvoorbeeld koelprofielen van walsen).Ook is het van belang of het rekendomein drie-dimensionaal of eventueel twee-dimensionaal afgebeeld kan worden.

In de praktijk echter zijn complexe drie-dimensionale problemen eerder regel dan uitzondering. Als dan de geometrie in een 2D CAD systeem gemaakt is dient deze eerst omgezet te worden naar een 3D model. Afhankelijk van het te gebruiken gridgeneratiepakket kan een volledig gesloten oppervlakte- of surface-model nodig zijn. Vooral moderne (semi)automatische gridgeneratoren (zoals ICEM/CFD Tetra en Hexa) hebben een gesloten wand nodig om vast te kunnen stellen waar het rekenrooster dient te eindigen.

Het overdragen van de informatie van het CAD-systeem (2D en/of 3D wireframes al of niet aangevuld met surfaces dan wel 3D solid modeller) geschiedt middels een IGES of VDA/FS-interface. Dit is een redelijk gestandaardiseerde CAD-formaat kan vervolgens weer ingelezen worden door andere softwarepakketen. Bij het gebruik van IGES treden af en toe wel eens problemen op. Vaak zijn deze terug te leiden op het gebruik van tekst, maatlijnen en arceringen. Indien deze informatie niet wezenlijk van belang is kan deze beter weggelaten worden (met als bijkomend voordeel dat het IGES-bestand kleiner wordt; maatlijnen zijn niet zozeer belang daar het immers een CAD-bestand betreft). Vervolgens kan het tekstbestand verstuurd worden (universeel bruikbaar betekent o.a. dat een IGES-bestand niet een binair maar een overal leesbare nogal fors ASCII-bestand is). Comprimeren van een IGES-bestand is dus raadzaam bij voorkeur met een compressietool dat ook door Unix-systemen gedecomprimeerd kan worden (bijvoorbeeld "compress" (extensie .Z) of "gzip" (extensie .gz); typische DOS en W95/98 "standaarden" zijn niet aan te raden).

Bij het begin van het maken van een rekenrooster wordt het IGES-bestand weer omgezet naar een ander (binair) formaat. Vanaf dat moment begint op "oppoetsen" van de gegevens. Aangezien van een CAD-constructeur niet verwacht mag worden dat hij of zij rekening kan en zal houden met de eisen van welk numeriek analyse systeem dan ook laat deze stap zich niet omzeilen. Onder "oppoetsen" wordt verstaan het verwijderen van overtollige informatie, eventueel het toevoegen van ontbrekende onderdelen dan wel het omzetten van 2D naar 3D. Verwijderd worden bijvoorbeeld:

• Tekst, maatlijnen en arceringen
• Wanddiktes en onderdelen die niet met het rekendomein in contact staan
• Boutgaten en andere (niet van belang zijnde) gaten en spleten.
• Dubbele surfaces, splines en lijnen (solid modellers produceren op het raakvlak van twee solids bij de overgang naar IGES twee surfaces).
• Vaak ook afrondingen die niet van belang zijn. Met de huidige generatie solid modellers is overigens het verwijderen van afrondingen vaak geen probleem ("op knopdruk") terwijl dat lastig tot zeer lastig is als het model eenmaal via een IGES-interface is gehaald. Tot deze categorie afrondingen behoren afrondingen die ten behoeve van het spuitgieten van kunstofdelen aangebracht zijn.

Zodra de CAD-gegevens in orde zijn kan overgegaan worden tot het maken van een rekenrooster. Er zijn in principe verschillende mogelijkheden (afhankelijk van de gewenste nauwkeurigheid, complexiteit van de geometrie, rekentijden enzovoorts):

• Een parametrisch model (in de regel beperkt tot "simpele geometrieën").
• Een model met voornamelijk hexaeders (Lego-blokjes; beter met betrekking tot nauwkeurigheid en gunstig voor rekentijden).
• Een model met voornamelijk tetraeders (niets is te dol of er kunnen tetra's in).
• Een combinatie van de drie bovenstaande keuzes (hybride aanpak).

Het maken van een "bij het probleem passend" rekenrooster kan snel gaan (uren) tot dagen, weken en soms zelfs maanden. Vandaar dat vereenvoudigingen, geometrisch dan wel met betrekking tot de fysische vraag, van belang zijn. Een en ander is dan natuurlijk wel afhankelijk van de gestelde vraag.

Slot

Op deze pagina is getracht de lezer een indruk te geven van het vakgebied van de numerieke stromingsleer. Net zoals alle numerieke analyse methoden komt deze technologie tot zijn recht als het vroeg in de ontwikkelingsfase wordt ingezet als er nog geen prototypes en dergelijke gebouwd zijn. Afhankelijk van de vraag en de (geometrische) complexiteit zijn de voordelen ten opzichte van experimentele metingen:

• Lagere kosten. Geen prototypes, men kan zich beperken tot concepten. Doel van numerieke simulaties is om vroeger in het ontwikkelingsproces met een virtueel prototype dicht bij het uiteindelijke concept te komen. Hoe eerder des te goedkoper is het om van concept te veranderen (op een later moment zijn de constructeurs reeds klaar en worden er al prototypes gebouwd).
• Snelheid. Het veranderen van een randvoorwaarde en/of delen van een rekenrooster kan relatief eenvoudig gebeuren.
• Compleet inzicht. Een numerieke simulatie geeft een gedetailleerd en compleet overzicht van alle relevante variabelen over het gehele domein. Bij experimenten heeft men slechts een beperkt aantal meetpunten, mits men er bij kan komen en/of storingsvrij kan meten. In die zin kan een numerieke simulatie zelfs een experimenteel programma vervolmaken (ook om te bepalen welke varianten, en waar meten het meest effectief zal zijn).
• Realistische condities zijn mogelijk. Er zijn geen schaalmodellen en dergelijke nodig. Hoge temperaturen en gevaarlijke gassen zijn geen probleem.
• Ideale condities zijn mogelijk. Men kan essentiële parameters aan- of uitschakelen (dichtheid al of niet constant, wel of geen invloed van de zwaartekracht).

De voordelen zijn wellicht imposant maar het is goed te realiseren dat er ook nadelen zijn:

• Er wordt gewerkt met modellen. In tegenstelling tot een experiment waarbij de werkelijkheid zelf bestudeerd wordt en er geen sprake is van fysische of numerieke modellen.
• De geometrische resolutie. Het rekenrooster moet zowel de basis geometrie goed afbeelden en tegelijkertijd in staat zijn om relevante stromingsverschijnselen te laten zien. Vooral voor het laatste is ook veel algemene kennis van de stromingsleer nodig.

Tot slot kan gezegd worden dat numerieke simulaties er niet zijn om experimenten geheel te vervangen, maar om het aantal beproevingen te beperken (liefst tot één).

(Overigens zijn aanvullingen en ideeen natuurlijk zijn van harte welkom)